ania ktora rozwiazuje zadania z matematyki wykonuje prace

Odpowiedzi z matematyki i rozwiązania zadań z arkusza CKE z egzaminu ósmoklasisty 2023 znajdziesz w tym artykule. Sprawdź poprawne odpowiedzi i zobacz, jak należało rozwiązać zadania dotyczyła budowania na tym co uczeń potrafi i wykonuje dobrze, aby mógł rozwijać zaufanie do siebie. Przede wszystkim rolą nauczyciela jest wnikliwie zapoznanie się z opinią psychologiczno-pedagogiczną, która takie informacje zawiera. Nauczyciel musi też zdawać sobie sprawę, że jego postępowanie w stosunku do dziecka będzie Zadania, sprawdziany i materiały edukacyjne z matematyki – liceum oraz technikum (poziom podstawowy) 1. Liczby, zbiory i działania: Sprawdziany: Liczby rzeczywiste – Sprawdzian (10 zadań) Napisz, co oznacza niewiadoma x w zadaniu i zapisz treść zadania w postaci równania. Kasia i Artur mają razem 26 lat. Artur jest o 2 lata starszy od Kasi. Ile lat ma Kasia? Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 16 cm, a podstawa ma długość 6 cm. Oblicz długość ramienia. Ania jest trzy razy starsza od swojego brata Adama. Przenieśmy wyrazy o tych samych indeksach na jedną stronę w każdej z obu równości. Dostajemy m 1−n 1= m 2−n 2 oraz m 2−n 2= m 3−n 3. Zauważmy, że zamiast słowa „oraz” możemy wstawić znak „=”, czyli m 1−n 1= m 3−n 3, co po przestawieniu wyrazów daje m 1+n 3= n 1+m 3. Ta równość z określenia ρ oznacza, że (m Gute Fragen Um Eine Frau Kennenlernen. Aukcja dotyczy: Matematyka - Rozwiązuję zadania. Główka pracuje plus. Kl. 3 Matematyka &ndash zbiór ponad 100 ćwiczeń i zadań sprawdzających wszechstronne umiejętności i wiedzę z zakresu matematyki, którą powinien posiadać uczeń III klasy szkoły podstawowej. Ćwiczenia obejmują zadania z zakresu: liczenia (dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia), mierzenia długości, rozpoznawania figur geometrycznych i obliczania obwodów figur, znajomości monet i banknotów i dokonywania obliczeń pieniężnych i wagowych, określania pojemności, orientacji w przestrzeni, klasyfikowania zbiorów, znajomości liczb arabskich i rzymskich, posługiwania się zegarkiem i kalendarzem, nazywania dni tygodnia i miesięcy, odczytywania temperatury z termometru. Zadania są podzielone na cztery grupy, zgodnie z porami roku, i odnoszą się do tematyki bliskiej dzieciom &ndash do życia szkolnego uczniów i wydarzeń związanych ze zmieniającymi się porami roku. Każde zadanie zawiera zabawne oznaczenie wskazujące, jakiego rodzaju umiejętność dziecko ćwiczy, rozwiązując to zadanie. Zadania są zilustrowane kolorowymi obrazkami, które zachęcają do ich rozwiązywania. AutorPraca zbiorowaOprawabroszuraWydawcaZielona SowaISBN978-83-798-3079-4EAN9788379830794Ilosć stron48Wymiary20 x 28,8 cmData wydania2015Indeks7222JBF Zapraszam na pozostałe aukcje Przed zakupem przedmiotu proszę o zapoznanie się z regulaminem dostępnym na stronie "O mnie". Zadania matematyczne dla przedszkolaków powinny rozbudzać miłość do matematyki, uczyć nowych pojęć i rozwijać myślenie operacyjne oraz naturalne, wrodzone zdolności matematyczne każdego małego dziecka. Znalezienie takich zadań nie jest łatwe, ale jest książka, która spodoba się zarówno dzieciom, jak i dorosłym: rodzicom i książce znajdziesz zadania matematyczne dla przedszkolaków na 3 poziomach matematyczne na poziomie I uczą pojęcia liczby (rozumienia i zapisu) oraz wprowadzają inne nowe pojęcia matematyczne, np. parzystość. Zadania na poziomie II uczą działań, a zadania na poziomie III to gry towarzyskie, które ćwiczą dotychczasowe umiejętności i poprawiają szybkość liczenia. Wszystkie zaprezentowane gry i zabawy pozwalają dziecku na dokonywanie obserwacji i samodzielne myślenie, dzięki czemu rozwijają inteligencję. Do książki dołączone są dwustronne karty świadoma, że zanim sięgniemy po wspomnianą książkę i karty matematyczne, to zadań matematycznych dla przedszkolaków szukamy w sieci. Zanim je wydrukujemy, poddajmy je krytycznej ocenie. Sprawdźmy, czy rozwiną matematyczne myślenie i czy rozbudzą zainteresowanie matematyką. Uważajmy na zadania, które mogą zmniejszyć samoocenę dziecka, wprowadzić chaos w jego myśleniu i zniechęcić do zadania matematyczne dla przedszkolaków rozbudzają miłość do matematyki?Większość zadań matematycznych dla przedszkolaków, znalezionych na sieci, ma charakter sprawdzający. Ich celem jest sprawdzenie, czy dziecko opanowało już wcześniejszy zakres materiału. Warto sobie jednak przypomnieć, jak bardzo nie lubiliśmy być odpytywani w szkole. Sprawdzanie i ocenianie jest jednym z głównych powodów krytyki szkoły. Wywołuje u dzieci niechęć do nauki matematyki. Dlatego tworząc 161 gier i zabaw zadbałam o to, aby dziecko nie czuło się sprawdzane, ale aby było zaangażowane w odkrywanie piękna zadania matematyczne rozbudzają matematyczne uzdolnienia przedszkolaków?Każde dziecko ma naturalne, wrodzone zdolności matematyczne. Badacze obserwują je już u dzieci w wieku zaledwie 2 dni. Zdolności te wygasają jeśli nie są rozwijane. Proces ten jest stopniowy, ale można go zauważyć około 3 roku życia. To z tego powodu nie dostrzegamy geniuszu dzieci proces zaniku zdolności matematycznych można powstrzymać. Można też te zdolności rozwinąć. U dzieci przedszkolnych lub wczesnoszkolnych można odzyskać utracone zdolności. W tym celu trzeba je zacząć prawidłowo rozwijać – ćwiczyć w taki sposób, aby dziecko z nich korzystało, a przy okazji je wzmacniało. O tym, jak rozwijać naturalne zdolności matematyczne każdego małego dziecka opowiadam szczegółowo podczas szkolenia dla rodziców Wczesna nauka zadania matematyczne dla przedszkolaków rozwijają myślenie matematyczne u dzieci?Dzieci przedszkolne są ciekawe świata. Chętnie poznają wszystko co nowe. Dlatego rodzice chcąc urozmaicić naukę matematyki, liczą coraz to nowe obiekty: schody, sztućce, klocki, kasztany. Tymczasem takie zadania matematyczne są nudne. Nieustannie testują tą samą wiedzę, na przykład dodawanie liczb do 10, albo odejmowanie liczb do 10. Wierzymy, że aby nauczyć dziecko odejmowania, najpierw musi się ono nauczyć dodawania. Tymczasem to tylko mit. Zatem zanim podejmiesz dalszą naukę matematyki, przeczytaj listę 30 najpopularniejszych błędów we wczesnej nauce znaleźć najlepsze zadania matematyczne dla przedszkolaków?To z pewnością brzmi nieskromnie, ale pozwól, że się usprawiedliwię. Jestem matematykiem (ukończyłam matematykę na UW), a dodatkowo matematyka jest pasją mojego życia. Wszędzie widzę w niej piękno. Dostrzegania tego piękna w matematyce nauczyłam moje dzieci, ale także tysiące innych. Od kilkunastu lat prowadzę szkolenia dla rodziców małych dzieci, gdyż opracowałam kompleksową metodę rozwoju potencjału małego dziecka. Jest to jedyna metoda na świecie, której efektywność została zweryfikowana kiedy pasjonaci matematyki potrafią przekazać innym miłość do matematyki. Bo rzadko kiedy matematycy są dobrymi pedagogami. To dlatego, że pedagogika jest kierunkiem humanistycznym. Ja jestem magistrem matematyki i doktorem jestem przekonana, że najlepsze zadania matematyczne dla przedszkolaków znajdziesz w książce “161 gier i zabaw matematycznych dla dzieci w wieku 2-12 lat“. Do książki załączone są matematyczne karty, które prezentują zarówno liczby, jak i ich znaczenie. Z jednej strony znajduje się zapis cyfrowy, podczas kiedy z drugiej strony zamieszczona jest kupisz książkę i karty matematyczne, wcześniej weź udział w szkoleniu dla rodziców “Wczesna nauka matematyki“. Dowiesz się wtedy, jak uczyć małe dziecko matematyki, rozwijając jednocześnie jego naturalne, wrodzone zdolności w naszej ofercie znajdziesz wiele matematycznych pomocy edukacyjnych:Matematyczny program komputerowy dla dzieci w wieku 0-12 latKarty do mnożenia inteligencji. Liczby z zakresu 1-12Plansze do gier strategicznych dla dzieci w wieku 3-12 lat (50 sztuk)Karty do nauki odczytywania czasu na zegarzeTypowe zadania matematyczne dla przedszkolaka do wydrukuNie jest łatwo wyobrazić sobie, ile inspirujących pomysłów znajdziesz w książce i jak wspaniale będziesz się bawić ze swoim dzieckiem każdego dnia używając kart. Być może nadal szukasz tego, co już jest Ci znane i sprawdzone: typowe zadania matematyczne dla przedszkolaków do wydruku. Dlatego poniżej takie zadania zamieściłam. Zamieściłam także ich ocenę: zalety i je jednak wydrukujesz, zastanów się, jaki chcesz osiągnąć cel. Powszechnie sądzi się, że zadania matematyczne dla przedszkolaków powinny rozwijać logikę. Tymczasem okazuje się, że rozwijanie logiki przyspiesza zanik naturalnych zdolności każdego małego dziecka. Zamiast rozwijać logikę, należy rozwijać myślenie operacyjne. Tylko wtedy rozwiniemy inteligencję dziecka. Zatem jeśli chciałbyś wiedzieć, co to jest myślenie operacyjne i jak należy je rozwijać, spotkajmy się szkoleniu dla rodziców Wczesna nauka zadania matematyczne dla 2-latka i 3-latkaZadania matematyczne dla dziecka w wieku 2-3 lat do wydruku, jakie znajdziesz w internecie, są to najczęściej zadania obrazkowe. Bazują one na umiejętności porównywania kształtów, szukania podobieństw i różnic. Zadania te sprawdzają umiejętność wzrokową, którą dziecko powinno osiągnąć w wieku 18 miesięcy. Jest to sprawność wzrokowa polegająca na odróżnianiu elementów podobnych, ale nie takie zadania są zbyt proste dla dziecka w wieku 3 lat. Tymczasem wyzwaniem może być sprawność manualna. Pokolorowanie kształtów lub otoczenie kółkiem właściwych liczb jest dla trzylatka zadania matematyczne do wydruku dla dzieci w wieku 3 lat mają niewielki związek z matematyką. Są infantylne, oceniają sprawność wzrokową, a ponadto zawierają liczne błędy metodyczne. Okazuje się bowiem, że we wczesnej nauce matematyki ogromne znaczenie ma przyjęta metoda. Zatem warto wiedzieć, kto opracował koncepcję autorami zadań matematycznych dla przedszkolaków nie są pasjonaci matematyki, ale pedagodzy. Tymczasem współczynnik niechęci do matematyki jest najwyższy na kierunkach pedagogicznych. Zatem autorami tych zadań są osoby, które matematyki nie lubią i nie zdają sobie sprawy, jakimi matematycznymi zdolnościami dysponują małe dzieci od urodzenia oraz jak te zdolności należy 1Pokoloruj wszystkie figury danego typu na jeden wybrany kolor (patrz zdjęcie 1).Zalety:Sprawdzenie sprawności wzrokowej, którą dziecko powinno osiągnąć w wieku półtora roku;Ćwiczenie sprawności manualnej – kolorowanie;Wady:Zadanie ma niewielki związek z matematyką i żadnego z nauką liczenia;Sprawdza, na ile dziecko zna nazwy figur – zatem ma sens tylko wtedy, kiedy wcześniej dziecko zostało tego nauczone;Sprawdzanie nie wzbogaca wiedzy, ani nie rozwija zdolności, dlatego dla rozwoju intelektualnego nie ma znaczenia;Zadanie jest nudne, gdyż wskazanie figur zajmuje dziecku kilka sekund, ale wykonanie polecenia – kilkadziesiąt minut;Jest trudne manualnie, zatem może ugruntować pogląd dziecka, że matematyka jest nie tylko nudna, ale też 2Przyjrzyj się liczbie w kwadracie (po lewej stronie), a następnie znajdź ją wśród liczb stojących w szeregu (po prawej). Wszystkie jej wystąpienia otocz linią zgodnie z pierwszym sprawności wzrokowej, którą dziecko powinno osiągnąć w wieku półtora roku – rozpoznawanie elementów podobnych, ale nie jednakowych;Ćwiczenie sprawności manualnej – kreślenie linii;Wady:Zadanie ma niewielki związek z matematyką i żadnego z nauką liczenia – kształtami są liczby, ale równie dobrze mogłyby to być litery chińskiego alfabetu;Nie sprawdza, na ile dziecko rozumie znaczenie cyfr;Nie wzbogaca wiedzy, ani nie rozwija zdolności, dlatego dla rozwoju intelektualnego nie ma żadnego znaczenia;Zadanie jest nudne, gdyż wskazanie figur zajmuje dziecku kilka sekund, ale wykonanie polecenia – kilka minut;Może ugruntować pogląd dziecka, że matematyka jest matematyczne dla 4-latkaZadania matematyczne dla dziecka w wieku 4 lat polegają głównie na układaniu sekwencji. Dziecko powinno ułożyć elementy ciągu zgodnie z wcześniejszą (narzuconą) regułą. Pierwsze elementy ciągu są ustawione w logicznym, powtarzającym się układzie, który dziecko powinno odtworzyć. Zadania te mają na celu rozwijanie logiki. To doprowadza do szybszego zaniku zdolności matematycznych, które posiada od urodzenia każde 3. Zaznacz figurę (po prawej), która będzie stała jako następna w ciągu, który widoczny jest po lewej ćwiczy logikę, która niegdyś utożsamiana była z inteligencją, jednak okazuje się, że trening logiki blokuje naturalne zdolności matematyczne i doprowadza do szybszego ich zaniku – zatem ostatecznie zmniejsza potencjał intelektualny dziecka;Ma niewielki związek z matematyką: nie uczy liczenia, nie rozwija myślenia operacyjnego, nie uczy nazw figur, nie mówi o ich własnościach;Jest nudne, gdyż wymaga od dziecka siedzenia przy kartce papieru, co przypomina koncepcję nauki szkolnej, podczas gdy tego typu zadania można byłoby wykonywać w świecie trójwymiarowym, a nawet w ruchu;Sprawdza, na ile dziecko rozumie koncepcję opracowaną przez dorosłego pedagoga – ignoruje dziecięce spostrzeganie;Nie wzbogaca wiedzy, ani nie rozwija zdolności matematycznych, zatem dla rozwoju intelektualnego nie ma znaczenia;Zadanie zawiera kilka błędów metodycznych, dlatego prowadzi do osłabienia poczucia własnej wartości i wiary we własne zdolności umysłowe, co rodzi przekonanie dziecka, że matematyka jest typem zadań dla przedszkolaków jest porównywanie ilości elementów. Zadania te zachęcają dziecko do liczenia kolejno elementów, co również doprowadza do zaniku naturalnych zdolności matematycznych 4. Policz, ile jest obiektów i wpisz (w pole po lewej) właściwa cyfrę 1, 2, 3, 4, 5 lub sprawności manualnej – kreślenie cyfr;Wady:W zadaniu dziecko nakłaniane jest do liczenia elementów po kolei, co niszczy naturalne, wrodzone zdolności matematyczne każdego małego dziecka;Sprawdza, na ile dziecko rozumie znaczenie cyfr – ale sprawdzanie nie wzbogaca wiedzy, ani nie rozwija zdolności, dlatego dla rozwoju intelektualnego nie ma znaczenia;Jest nudne, gdyż wymaga od dziecka siedzenia przy kartce papieru, co przypomina koncepcję nauki szkolnej, podczas gdy tego typu zadania można byłoby wykonywać w świecie trójwymiarowym, a nawet w ruchu;Sprawdza, na ile dziecko zna ciąg arytmetyczny 1, 2, 3, 4… – tymczasem jest to jeden z 30 najpopularniejszych błędów popełnianych w nauce liczenia (czytaj artykuł: 30 najpopularniejszych błędów w nauce liczenia)Może ugruntować pogląd dziecka, że matematyka jest nudna;Zadanie zawiera kilkanaście błędów metodycznych, dlatego prowadzi do osłabienia poczucia własnej wartości i wiary we własne zdolności umysłowe, co rodzi przekonanie dziecka, że matematyka jest matematyczne dla 5-latkaZadania matematyczne dla dziecka w wieku 5 lat często wymagają od dziecka umiejętności dodawania i odejmowania w zakresie do 10. Niestety to blokuje rozwój myślenia operacyjnego i przekłada się na zmniejszenie potencjału intelektualnego przedszkolaka. Dodatkowo zadania te są niezwykle nudne i źle opracowane metodycznie, przez co doprowadzają dziecko do zakłopotania i zwątpienia we własne siły. Przykłady takich zadań poniżej, do typ zadań dla przedszkolaków stanowią zadania obrazkowe, w których dziecko ćwiczy umiejętności manualne, rysując linię. Warto jednak zauważyć, że ich związek z matematyką jest bardzo matematyczne dla 6-latkaZadania matematyczne dla dziecka w wieku 6 lat wymagają najczęściej dodawania i odejmowania nie tylko w zakresie do 10, ale także w zakresie do 20. Jest to tematem nauki matematyki w klasie pierwszej szkoły podstawowej. Tymczasem stosowanie metod szkolnych w wieku przedszkolnym przynosi odwrotne efekty. Ostatecznie zaburza rozwój myślenia operacyjnego i inteligencji oraz utrudnia zrozumienie matematyki. Zamiast budzić ciekawość, tworzy niechęć do zadania matematyczne dla przedszkolakówZadania matematyczne dla przedszkolaków do wydruku to często zadania obrazkowe. Niestety mają one niewiele wspólnego z nauką matematyki. Są one zazwyczaj bardzo infantylne i nie stanowią wyzwania intelektualnego dla dziecka. Natomiast trudniejsze zadania trzeba dziecku wytłumaczyć, a to wprowadza nieporozumienia i doprowadza do osłabienia relacji rodzica z zadania matematyczne dla przedszkolaków wydają się wspierać rozwój intelektualny dziecka. Tymczasem w szybkim tempie doprowadzają do zwątpienia dziecka we własne sukcesu dziecka jest edukacja rodzica. Rodzic, któremu brakuje wiedzy, robi wiele, ale efektów nie widzi. Im więcej czasu i pracy wkłada w edukację matematyczną dziecka, tym bardziej opłakane są efekty. Zatem zmień metodę. Weź udział w szkoleniu, aby wiedzieć jak rozwijać zdolności matematyczne przedszkolaka. Wystarczy nawet pół minuty dziennie, ale szkolenieWczesna nauka matematykiPolecane produktyGry i zabawy matematyczne dla dzieciPolecane Artykuły30 powszechnych błędów w nauce matematyki Diofantos i algebra Aleksandria przez wiele stuleci była centrum życia naukowego starożytnego świata. To tu powstała największa antyczna biblioteka (ok. 750 000 rękopisów). Działało tutaj wiele szkół, przyjeżdżało i kształciło się wielu uczonych. Aleksandria to miejsce, gdzie zdobyli swoje wykształcenie Archimedes, Euklides, Heron. To tu właśnie spędził całe swoje naukowe życie Diofantos (200/214 – 284/298 r. - jeden z największych matematyków starożytności. Główne dzieło Diofantosa to „Arytmetyka”. Składało się ono najprawdopodobniej z trzynastu ksiąg, z czego zachowało się sześć. Grecki matematyk przedstawił w swojej pracy 189 równań wraz z rozwiązaniami. Są to najczęściej równania nieoznaczone – to znaczy mające wiele rozwiązań – z jedną, dwiema bądź z trzema niewiadomymi. Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi. Diofantos uważany jest za twórcę pierwszego, choć jeszcze bardzo niedoskonałego języka algebraicznego. Wprowadza odrębne symbole na oznaczenie niewiadomej, współczynniki pisze za niewiadomą, po raz pierwszy używa znaku odejmowania (odwrócona grecka litera psi – ψ), nie stosuje natomiast znaków dodawania, mnożenia i dzielenia. Składniki sum pisze obok siebie, używa za to skrótów słownych dla oznaczenia poszczególnych określeń i działań algebraicznych, np. ar – αρ (od słowa arithmos – liczba) na oznaczenie niewiadomej, is – ισ (od słowa isos – równy) na oznaczenie znaku „=”. Trzeba w tym miejscu dodać, że oryginalny zapis równań Diofantosa znacznie się różni od tego, który używany jest dziś przy przedstawianiu tych równań. Oprócz bowiem wymienionych wyżej skrótów trzeba by również uwzględnić grecki sposób zapisywania liter i cyfr (patrz tekst „Cyfrowa historia” – joński zapis liczb). Właśnie ze względu na bardzo skomplikowany zapis cyfrowy liczb i równań, jak twierdzą historycy matematyki, grecka arytmetyka rozwijała się tak bardzo powoli w porównaniu na przykład z arabską. Do zasług Diofantosa w dziedzinie algebry zaliczyć trzeba też to, że jako pierwszy z matematyków greckich potraktował ułamki na równi z innymi liczbami, zapisywał je w ten sposób, że licznik stawiał nad mianownikiem, ale bez kreski ułamkowej. Rozwiązywanie przez Diofantosa równań polegało na ich sprowadzaniu do najprostszej postaci za pomocą przenoszenia wyrazów na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem, redukcji wyrazów podobnych i dzieleniu przez współczynnik przy niewiadomej. Osiągnięcia Diofantosa przez wiele lat pozostały w zapomnieniu, wśród matematyków greckich nie znalazł on kontynuatorów. Jego dzieła przetrwały jednak w cytowaniach autorów arabskich i hinduskich i były przez nich bardzo cenione. W Europie jego „Arytmetykę” przetłumaczono z arabskiego dopiero w epoce nowożytnej i od razu wzbudziła zainteresowanie i zajęła stałe miejsce w historii matematyki. To właśnie na marginesie książki Diofantosa Pierre de Fermat zapisał swoje słynne twierdzenie znane jako wielkie twierdzenie Fermata, które do dziś wywołuje dyskusje. Do dzieła Diofantosa nawiązywało wielu wybitnych matematyków, wspomniany już Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Joseph Lagrange. ZADANIA DIOFANTOSA I Liczby trójkątne, kwadratowe, sześcienne – ich obliczanie i ustalanie wzajemnych powiązań jest bardzo charakterystyczne dla matematyki w starożytnej Grecji. Diofantos również odkrył wiele prawidłowości rządzących liczbami. Jedno z jego twierdzeń mówi: „Ośmiokrotnie wzięta liczba trójkątna powiększona o jedność jest zawsze kwadratem”; inaczej mówiąc: ośmiokrotnie wzięta liczba trójkątna powiększona o jedność jest zawsze liczbą kwadratową. Aby więc lepiej wyjaśnić to twierdzenie, należy poznać, co to są liczby trójkątne i liczby kwadratowe. Liczba trójkątna to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Zależność na n-tą liczbę trójkątną można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą kolejnych liczb naturalnych. Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Na podobnej zasadzie jak liczby trójkątne i kwadratowe tworzone są inne liczby wielokątne. Przykłady liczb trójkątnych, kwadratowych i innych wielokątnych przedstawia tabela: Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek: Za pomocą twierdzenia Diofantosa można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna. Weźmy na przykład 45 i sprawdźmy, czy jest to liczba trójkątna. Korzystając z twierdzenia Diofantosa, otrzymujemy: 8 ∙ 45 + 1 = 361, a liczba 361 jest liczbą kwadratową, bo 19 ∙ 19 = 361, stąd wniosek, że liczba 45 jest liczbą trójkątną. II Diofantos ułożył następujące zadanie: suma dwóch liczb wynosi 100, a ich różnica 40 – jakie to liczby?Oznaczamy: x – mniejsza liczba; y – większa liczbaMamy układ równań: x + y = 100 i y - x = 40 x + y = 100 i po przekształceniu drugiego równania: y = 40 + xDo pierwszego równania w miejsce y wstawiamy 40 + x i otrzymujemy: x + 40 + x = 1002x = 60x = 30y = 40 + 30y = 70 III Diofantos podał i rozwiązał następujące zadanie: „Znaleźć takie trzy liczby, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem innej liczby”. Grecki matematyk znalazł te liczby. Są to 80, 320 i 41. Ich suma rzeczywiście jest kwadratem, bo 80 + 320 + 41 = 441 = 21². Suma każdej pary tych liczb jest również kwadratem: 80 + 41 = 121 = 11², 320 + 41 = 361 = 19², 320 + 80 = 400 = 20². Jak Diofantos znalazł te liczby? Nazwał szukane liczby a, b, c. Operował tylko jedną niewiadomą x. Następnie założył, że:a + b + c = x² + 2x + 1 = (x + 1)²a + b = x²b + c = x² - 2x + 1 = (x - 1)² Z tych równań wyznaczył a = 4x oraz c = 2x + 1, skąd a + c = 6x + 1Biorąc pod uwagę, że a + c jest kwadratem innej liczby, znalazł, że x może mieć wartość tylko powyższych równań wynika więc, że:a = 4x = 80b = x² - a = 400 - 80 = 320c = 2x + 1 = 40 + 1 = 41 ZAGADKA – ILE LAT ŻYŁ DIOFANTOS? W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej antologii wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest jednocześnie zadaniem tekstowym: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnejSztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz:Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił,Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów częśćŻycia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą,Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg,Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka,Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiekOjca w połowie osiągnął, ponury zabrał go ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczbJeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem. ROZWIĄZANIE x – czas życia Diofantosa1/6x – jego dzieciństwo1/12x – okres młodości1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem5 – lata oczekiwania na syna1/2x – czas życia syna4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci synaRozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną niewiadomą:1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = xStąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył 84 lata. zapytał(a) o 15:37 Jak rozwiązać zadanie z matematyki ? Ela i Jola są lat ma Kasia ?Jola-jestem o 8 lat starsza od 3 razy starsza od Kasi. Odpowiedzi h22 odpowiedział(a) o 15:39 x - wiek kasiy - wiek joli i eliy = x + 8y = 3xpodstawiasz:3x = x + 82x = 8x = 4Kasia ma 4 lata :) wiek Eli to będzie xwiek Joli to też xa Kasi zJola 8 lat starsza od Kasi czyli x = z + 8Ela 3 razy starsza od Kasi czyli x = 3 * zskoro:x = z + 8x = 3 * zto z + 8 = 3 * xodejmujemy z obu stron 'równa się' jedno z8 = 2 * zdzielimy obie strony na 24 = zi mamy wiek Kasi: 4 lata ma ;p oo pamiętam to zadanie sama robiła je ostatnioooo;pp to jest rozwiązanie:x- wiek kasi 3x-wiek elix+8-wiek joli 3x = x+8wiek eli wiek joli3x=3+83x- x=8 2x=8 /:2x=4wiek joli 4+8= 12wiek eli 3 razy 4= 12 Ele i Jola mają 12 lat, a Kasia 4 ;D Uważasz, że ktoś się myli? lub Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)$ określonej dla $x\in\left\langle -7,8\right\rangle$.Odczytaj z wykresu i zapisz:a) największą wartość funkcji $f$,b) zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\leqslant 0$ Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)$ określonej dla $x\in\left\langle -7,8\right\rangle$.Odczytaj z wykresu i zapisz:a) największą wartość funkcji $f$,b) zbiór rozwiązań nierówności $f(x)>0$ Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)$ określonej dla $x\in\left\langle -7,7\right\rangle$.Odczytaj z wykresu i zapisz:a) największą wartość funkcji $f$,b) zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\geqslant 0$ Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)$ określonej dla $x\in\left\langle -7,7\right\rangle$.Odczytaj z wykresu i zapisz:a) najmniejszą wartość funkcji $f$,b) zbiór rozwiązań nierówności $f(x)0$ Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f(x)$ określonej dla $x\in\left\langle -7,7\right\rangle$.Odczytaj z wykresu i zapisz:a) największaszą wartość funkcji $f$,b) zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\geqslant 0$

ania ktora rozwiazuje zadania z matematyki wykonuje prace